[수학] 명제, 조건, 논리연산, 역,이, 대우

명제, 조건, 논리 연산, 논리적 함축

정리

1. Expansion of Knowledge

• 참으로 알고 있는 것으로부터 논리적인 과정을 통해 새로운 참을 이끌어 내는 과정

2. Boolean Values

• True : 1(참)
• False :  0 (거짓)

3. Propositions (명제)

• True, False로 판단할 수 있는 문장
• ex) 모든 사람은 죽는다 → True

4. Axioms(공리)

• 참으로 증명없이 받아들이는 Propositions

5. Conditions(조건)

• 변수에 따라 True, False가 달라지는 식
• 항상 True이거나 , Flase이면 각각 true propositions, false propostions으로 생각
• x^2 > 4 → True : x가 2보다 크거나 -2보다 작으면 True,  -2≤x≤ 2이면 False

6. Truth Sets(진리 집합)

• 어떤 condition을 만족하는 원소들의 집합
• 어떤 컨디션을 참으로 만족시키는 원소 집합
• ex) U = {x | 1 < x ≤ 20} 일대 , q = 4의 배수라는 컨디션인 경우, q에 대한 진리 집합은 Q ={ 4, 8, 12 , 16, 20}

7. Logical operations(논리 연산)

• 기존 conditions을 가지고 logical operations을 했을떄 새로운 컨디션이 나오는 것

논리 연산에는 Unary/Binary operations이 있음

8. Unary Operations 😁A = Y

• Logical Negations (ㄱ) 
  
  • input condition의 참과 거짓을 바꾸는 연산
  • ㄱA = Y
  • ex) ㄱ(a는 소수이다) = a는 소수가 아니다
  • 표로 나타낸 경우 아래와 같음 

A	Y
0	1
1	0

9. Binary Opeartions  A😁B = Y

• 두 input condition A, B가 모두 참일 때만 output condition이 참인 연산

Logical Conjunction(and) - Binary Operations

• 아래 그림처럼 표현하며 아래 표처럼 계산

A	B	Y
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Logical Disjunction(and) - Binary Operations

 

 

Logical Exclusive Disjunction - Binary Operations

• 두 input condition A, B중 하나만 참 일 때, output condition이 참인 연산

A	B	Y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

NAND operations - Binary Operations

A	B	Y
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

NOR operations - Binary Operations

A	B	Y
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

Logical implication - Binary Operations

• 조건 A가 만족될 떄, B가 만족됨을 추론하는 연산
• A -> B
• if a, then b.  ex) x = 2 -> x^2 = 4

A	B	Y
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

• A가 틀리면 B도 틀려도 되고, A가 틀려도 B가 맞아도 되는데, A가 맞았는데 B가 틀리면 안 됨
• A is True, but B is False -> XXX

Logical Implications - Sufficiency and Necessary(필요충분조건)

• condition p, q와 이 조건들에 대해 각각의 truth set P, Q에 대해 p -> q가 참이긴 위해선 P는 Q의 subset

Sufficiency

• p는 q이기 위한 충분조건이다
• q가 참이기 위해 p가 참임을 보여주면 된다.
• p is sufficient for q

Necessity

• q는 p이기 위한 필요조건이다
• p는 참이기 위해 q가 참인 것이 필요하다
• q is necessary for q

For All (∀)

• x가 될 수 있는 모든 경우에 대해 조건 p가 만족
• ex) ∀강아지는 동물이다

There Exists(symbol ∃)

• 어떤 (최소한 하나 이상) x값이 조건 q를 만족한다
• ex) ∃x, x + 3 = 0

iff condition (if and only if)

• 두조건 p, q가 서로 같은 truth set을 만들면 두조건은 같은 조건이다
• p : x^2 = 4 < -> q : x = +-2

converse

• 역
• A -> B, : B → A

Inverse

• 이
• ㄱA → ㄱB

Contrapositive

• 대우
• ㄱB → ㄱA